4 분 소요

이항 계수 1

solved_ac[Class2] 이항 계수 1

문제

자연수 N과 정수 K가 주어졌을 때 이항 계수 (N K)를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 N과 K가 주어진다. (1 ≤ N ≤ 10, 0 ≤ K ≤ N)

출력

(N K)를 출력한다.

예제 입력 1

5 2

예제 출력 1

10

문제 해석

itertools의 combinations 함수를 쓰면 쉽게 풀 수 있으며, factorial을 써도 쉽게 풀 수 있다. 하지만 문제에서 dp를 이용해서도 풀 수 있기 때문에 dp에 대해 알아보자.

DP(Dinamic Programming)

  • 다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법이다.
  • 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.
  • 다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 보텀업)으로 구성된다.
  • 다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고 부른다.
  • 일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)이란 어떤 의미를 가질까?
    • 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 ‘프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법’을 의미한다.
    • 반면에 다이나믹 프로그래밍에서 ‘다이나믹’은 별다른 의미 없이 사용된 단어이다.
  • 다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있다.
    1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
      • 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.
    2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)
      • 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.

피보나치 수열(factorial)

  • 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
  • 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미한다.
  • 피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같다.

a(n) = a(n-1) + a(n-2), a(1) = 1, a(2) = 1

  • 피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있다.
    • 프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현한다.

image

피보나치 코드(factorial)

def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)

print(fibo(4))

피보나치 수열(DP)

메모이제이션 (Memoization)

  • 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나이다.
  • 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법이다.
    • 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.
    • 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.

탑다운 VS 보텀엄

  • 탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 한다.
  • 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식이다.
    • 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고도 부른다.
  • 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미한다.
    • 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다.
    • 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.

피보나치 코드(탑다운 DP)

d = [0] * 100

def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

print(fibo(99))

피보나치 코드(보텀업 DP)

d = [0] * 100

d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

for i in range(3, n + 1):
    d[i] = d[i -1] + d[i - 2]

print(d[n])

메모이제이션 동작 분석

image

  • 이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있다.
  • 메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도는 O(N)이다.
d = [0] * 100

def fibo(x):
    print('f(' + str(x) + ')', end = ' ')
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

fibo(6)

f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)

image

  • 실제로 호출되는 함수에 대해서만 확인해 보면 다음과 같이 방문한다.

DP 접근 방법

  • 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요.
  • 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토.
    • 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 DP를 고려.
  • 일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다.
  • 일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.

DP를 쓰지않은 풀이 1(Combinations 메소드 사용)

  • itertools 라이브러리에서 combinations라는 함수를 사용한다.
  • 첫 번째 파라미터로는 배열이 들어가고, 두 번째 파라미터로는 그 배열 중에 뽑을 개수를 넣는다.
  • 출력으로는 뽑은 숫자들이 나오기 때문에 리스트화 시키고 길이를 뽑아내면 몇 개가 나오는지 알 수 있다.
import sys
import itertools

N, K = map(int, sys.stdin.readline().split())

res = len(list(itertools.combinations(range(1, N + 1), K)))

print(res)

DP를 쓰지않은 풀이 2(factorial 사용)

  • factorial을 이용하여 이항 계수 연산을 직접 해준다.
import sys

N, K = map(int, sys.stdin.readline().split())

def fact(num):
    if num == 0:
        return 1
    if num == 1:
        return 1
    else:
        return num * fact(num - 1)

print(fact(N) // (fact(K) * fact(N - K)))

DP 풀이

  • 파스칼의 삼각형을 이용한다.

image

  • 그림에서 보듯이 점화식이 나왔다. 탑 다운 방식 즉 메모이제이션을 이용하면 된다.
import sys

N, K = map(int, sys.stdin.readline().split())

dp = [[0] * 11 for _ in range(11)]

for i in range(N):
    for j in range(i + 1):
        if i == j:
            dp[i][j] = 1
            # 위 그림에서 보이는 맨 오른쪽 대각선 수 들
            
        elif j == 0:
            dp[i][j] = i + 1
            # 위 그림에서 보이는 맨 왼쪽 대각선 수 들
            
        else:
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]
            # 점화식

if K == 0:
    print(1)
else:
    print(dp[N - 1][K - 1])

고찰

이 문제가 굳이 dp로 풀지 않아도 되는 것은 안다. 하지만 dp는 코딩 테스트에서 가장 중요하고 골드 단계로 올라가게 되면 계속 해서 나오는 유형이기 때문에 미리 익혀두는게 나쁘지 않을 것이라고 생각하여서 포스팅을 한 것이다.

댓글남기기

참고