[백준]6588번: 골드바흐의 추측

골드바흐의 추측

골드바흐의 추측

문제

1742년, 독일의 아마추어 수학가 크리스티안 골드바흐는 레온하르트 오일러에게 다음과 같은 추측을 제안하는 편지를 보냈다.

• 4보다 큰 모든 짝수는 두 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

예를 들어 8은 3 + 5로 나타낼 수 있고, 3과 5는 모두 홀수인 소수이다. 또, 20 = 3 + 17 = 7 + 13, 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 이다.

이 추측은 아직도 해결되지 않은 문제이다.

백만 이하의 모든 짝수에 대해서, 이 추측을 검증하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 하나 또는 그 이상의 테스트 케이스로 이루어져 있다. 테스트 케이스의 개수는 100,000개를 넘지 않는다.

각 테스트 케이스는 짝수 정수 n 하나로 이루어져 있다. (6 ≤ n ≤ 1000000)

입력의 마지막 줄에는 0이 하나 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서, n = a + b 형태로 출력한다. 이때, a와 b는 홀수 소수이다. 숫자와 연산자는 공백 하나로 구분되어져 있다. 만약, n을 만들 수 있는 방법이 여러 가지라면, b-a가 가장 큰 것을 출력한다. 또, 두 홀수 소수의 합으로 n을 나타낼 수 없는 경우에는 “Goldbach’s conjecture is wrong.”을 출력한다.

예제 입력 1

8
20
42
0

예제 출력 1

8 = 3 + 5
20 = 3 + 17
42 = 5 + 37

문제 해석

옛날에 혼자 공부를 하면서 소수 구하기에 대해서 문제를 풀었던 적이 있다. 브루트 포스로도 풀 수 있지만, 양이 방대해지면 에라토스테네스의 체를 이용하여 풀어야 한다는 사실을 알고있다. 에라토스테네스의 체로 총 입력 받는 숫자의 범위인 1000000까지 소수를 구하고 그 소수들을 이용하여 짝수의 수를 소수들의 합으로 표현해주게끔 출력해주면 문제는 쉽게 풀 수 있다.

에라토스테네스의 체

• 우리가 알고 있는 소수중에 2의 배수들과 3의 배수들을 지워준다.
• 여기서 문제에서 나오는 범위인 1000000의 배수까지 지울 필요가 없다. 1000000의 제곱근인 1000의 배수까지만 지워주면 된다.
• 처음에 2의 배수들을 지우고, 3의 배수들을 지우고 나면 안지워진 숫자들을 찾아서 그 수를 소수로 인정해주고 그 수의 배수들을 다시 지워나가는 식으로 하면 소수들만 남게 된다.

풀이

• 에라토스테네스의 체를 10000000까지의 소수들을 list에 넣어주고 이중 루프를 돌면서 테스트 케이스로 입력 받은 수를 만드는 작업을 한다.
• 예를들어 테스트 케이스는 짝수이기 때문에 만드려면 홀수인 소수 두개가 필요하다. 그래서 2는 제외하고 시작한다.
• 맨 처음 루프에서는 3으로 시작하고 다음 루프에서는 3부터 쭉 탐색을 한다. 그래서 두 수를 더했을 때 테스트 케이스와 같은게 나오면 출력을 해주고 break로 이중 루프 전체를 빠져나간다.
• 만약 두 수의 합이 테스트 케이스를 넘어간다면 맨 처음 수를 그 다음 소수로 정해주고 다시 루프를 돌린다.

import sys

list = [True] * 1000001
list[0] = False
list[1] = False

prime = []

for i in range(2, 1000001):
    if i == 2:
        continue
    if list[i]:
        prime.append(i)
    for j in range(i * 2, 1000001, i):
        list[j] = False

while True:
    flag = 0
    T = int(sys.stdin.readline())
    if T == 0:
        break
    else:
        for i in prime:
            for j in prime:
                if i + j == T:
                    ans = str(T) + " = " + str(i) + " + " + str(j)
                    print(ans)
                    flag = 1
                    break
                elif i + j > T:
                    break
            if flag == 1:
                break
            elif i == prime[len(prime) - 1]:
                print("Goldbach's conjecture is wrong.") 

고찰

에라토스테네스의 체를 이용하여 푸는것은 알고있었는데 오랜만에 다시 구현하려고 하니 잘 생각이 나질 않았다. 이번 계기로 확실하게 익히고 가야겠다.